Déjà, 350 AvJC, Aristote, philosophe grec, tenta de donner une explication : l'arc-en-ciel est dû à la réflexion de la vue du soleil sur la surface du nuage. A partir de 3 couleurs fondamentales ( rouge, vert-jaune, violet) il affirme que les couleurs sont dues à un affaiblissement de la force de la lumière . Le rouge contient plus de lumière et le violet moins de lumière

Alexandre d'Aphrodisias, philosophe grec également, fait remarquer en 200 AvJC, qu'entre les rouges des 2 arcs, théoriquement plus lumineux, il y avait une zone sombre. Cette zone sombre porte à présent son nom.

Il y a toute une période jusqu'en 1100 où seuls les arabes réalisent des travaux sur l'optique.

Robert Grosseteste (1170-1253) introduit l'idée de la réfraction pour expliquer le phénomène.

Roger Bacon en 1266 détermina avec précision à l'aide d'un astrolabe l'angle de 42° pour l'arc primaire.

Dietrich de Freiberg en 1304 émis une nouvelle hypothèse : chaque goutte d'eau intervient individuellement pour chaque couleur vue par l'observateur. Pour lui, l'arc avait 4 couleurs.

Durant 300 ans , il y eu de nombreuses tentatives d'explication et la notion de 7 couleurs apparaît.

Il a fallu attendre René Descartes pour résoudre complètement les mystères de l'arc-en-ciel, en 1637. Il émit d'abord l'hypothèse de boules de matière remplissant tous les cieux et qui tournent. La vitesse de rotation détermine la couleur.

Par une étude du cheminement des rayons dans la goutte, il fait apparaître la notion d'extréma et de rayon efficace. Son étude explique les 2 arcs et la zone sombre sans expliquer les couleurs.

A l'aide d'un prisme, en 1666, Newton donna une explication des couleurs et donna avec précision l'angle de vision des différentes couleurs . La notion d'indice de réfraction apparaît aussi.

En 1803 Thomas Young donna l'explication des arcs surnuméraires.

Au XIX ème siècle, Richard Potter, Georges Airy et Lord Raylerg tentent d'expliquer la brusque variation de l'intensité lumineuse dans la bande d'Alexandre.

Un des physiciens actuels ayant écrit des articles sur l'arc-en-ciel est Moysés Nussenzveig..
La non explication

L'arc-en-ciel est créé par la déviation des rayons du soleil dans les gouttes d'eau. Cette explication ne suffit pas.



Il suffit de faire arriver un autre rayon parallèle au premier,

pour s'apercevoir qu'en sortie les faisceaux décomposés se recombinent entre eux pour reconstituer, par addition des couleurs, de la lumière blanche.

La réfraction ne suffit pas pour expliquer l'arc-en-ciel.
Explication mathématique et physique
Rappel des connaissances nécessaires à la compréhension
Math
Physique
Indice

Vitesse de la lumière dans le vide/vitesse de la lumière dans un milieu = indice du milieu

n = c / V

Pour le vide n=1, pour l'air n=1,000297, pour l'eau n est de l'ordre de 1,33

Cet indice varie en fonction de la longueur d'onde

La courbe varie suivant la loi de Cauchy : n= n0+K/lamda²

Loi de Descarte :



Nota : l'angle d'attaque de la goutte d'eau dépend de la hauteur par rapport au centre de la goutte .

Conséquence : La lumière ressort de la goutte d'eau suivant un angle dépendant de la hauteur de pénétration dans la goutte et de l'indice. Ci dessous représentation des trajets pour n=1,33 pour une hauteur variant de 10% du rayon de la goutte (de rose à noir) Le dernier trajet orange est créé pour une hauteur de 99% du rayon.

graphique n°5

Notez le cheminement des rayons bleu et noir qui sortent parallèles et la singularité du rayon orange.(les couleurs ne sont à prendre en compte uniquement que pour le graphique et n'ont rien à voir avec la décomposition de la lumière).
Coefficients de réfraction T et de réflexion R

Formules de Fresnel . Il faut prendre en compte la polarisation de la lumière



En tenant compte de la loi de Descarte et des formules de transformation trigonométrique, on peut retrouver ces formules sous d'autres formes.

Attention ces coefficients s'appliquent à l'amplitude de l'onde. Pour la puissance, il faut tenir compte de ces coefficients élevés au carré et pour l'onde transmise également des indices et des angles i1 et i2

Pour le passage eau vers air , il existe un angle à partir duquel toute la lumière est réfléchie : i1=49°

Angle de Brewster ib

r// s'annule pour l'angle de Brewster défini par tan ib=n2/n1.

Pour l'eau n2=1,33 d'ou ib = 53°

En sens inverse eau vers air ib = 37°
Mise en équation de l'angle du rayon lumineux émis par la goutte d'eau

On considère l'origine des angles la direction du soleil.



Mise en équation des angles de sortie des rayons lumineux.

a = arcsin h

La réfraction donne la formule suivante : sin i = n sin r

dans notre cas a = i d'où

sin a = n sin r

h = n sin r

r = arcsin h/n

b = pi + a - 2r

c = pi +b -2r = 2pi +a -4r

d = pi + c = 3pi + a -6r



Les rayons réémis par la goutte sont :

en A le rayon réfléchi Sa = 2a

en B l'angle du rayon sortant de la goutte Sb = b + a = pi + 2a - 2r = pi + 2arcsin h - 2arcsin h/n

en C l'angle du rayon sortant de la goutte Sc = c + a = 2pi + 2a - 4r = 2pi + 2arcsin h - 4arcsin h/n

en D l'angle du rayon sortant de la goutte Sd = d + a = 3pi + 2a - 6r = 3pi + 2arcsin h - 6arcsin h/n

Courbe représentative de ces différents angles en fonction de la hauteur. (calcul fait avec n = 1,330)


Constatations :

La réflexion sur la goutte en A du rayon incident se fait dans toutes les directions (courbe Sa)

La sortie Sb du rayon lumineux en B est comprise entre 97°,5 et -97°,5

La sortie Sc du rayon lumineux en C est comprise entre -42°,5 et +42°,5

La sortie Sd du rayon lumineux en D est comprise entre +50°,2 et -50°,2

Entre l'angle maxi de Sc et l'angle mini de Sd, il n'existe que le rayon émis par réflexion en A

A l'approche du minimum ou du maximum de Sc, une variation de la hauteur h provoque une faible variation de l'angle Sc

A l'approche du minimum ou du maximum de Sd, une variation de la hauteur h provoque une faible variation de l'angle Sd
L'arc-en-ciel

L'arc-en-ciel est généré par la partie de la courbe où la variation de la hauteur delta h provoque une faible variation de l'angle de sortie. Toute l'énergie lumineuse apportée par delta h est concentrée dans le rayon sortant . Il y a un effet lentille.

Reprenons les courbes précédentes Sc= f(h) et faisons un zoom sur la partie concernée comprise entre -40° et -43°en retraçant ces courbes pour des n différents.

On obtient ceci



L'angle de sortie correspondant au maximum d'énergie dépend de n.
Calcul de l'angle d'émission de l'arc-en-ciel

1) Sc

Cet angle correspond au moment où delta Sc/ delta h est minimum ou nul.

delta Sc / delta h correspond à la dérivée de la courbe Sc = f(h)

Si la dérivée s'annule, ce maximum d'énergie correspondra aussi au maximum ou minimum de la courbe Sc = f(h).

Sc = 2pi + 2arcsin h -4 arcsin h/n

La dérivée de arcsin x est 1/racine de (1-x²)

La dérivée de arcsin u est u'/racine de (1-u²)

on en déduit S'c = 2/racine de (1-h²) - 4 /racine de (n²-h²)

Cette dérivée s'annule pour h = racine de (4-n²)/3

Tableau de valeur pour h>0

couleur


rouge


orange


jaune


vert


bleu


indigo


violet

indice


1,3290


1,3310


1,3330


1,3350


1,3370


1,3390


1,3410

h optimum


0,8624


0,8619


0,8614


0,8608


0,8603


0,8598


0,8593

angle de sortie optimum


-42,6633


-42,3698


-42,0780


-41,7879


-41,4993


-41,2124


-40,9270

angle i


59,5849


59,5267


59,4686


59,4105


59,3524


59,2943


59,2362

angle r


40,4216


40,3925


40,3633


40,3342


40,3050


40,2758


40,2465
2) Sd

Faisons le même calcul pour Sd

Sd = 3pi + 2 arcsin h - 6 arcsin h/n

S'd = 2 /racine de (1-h²) - 6/racine (n²-h²)

Cette dérivée s'annule pour h = racine de (9-n²)/8

Voici le tableau récapitulatif pour h>0

couleur


rouge


orange


jaune


vert


bleu


indigo


violet

indice


1,3290


1,3310


1,3330


1,3350


1,3370


1,3390


1,3410

h optimum


0,9509


0,9506


0,9502


0,9499


0,9495


0,9491


0,9488

angle de sortie optimum


49,8367


50,3651


50,8908


51,4136


51,9337


52,4511


52,9658

angle i


71,9719


71,9072


71,8427


71,7783


71,7140


71,6497


71,5856

angle r


45,6404


45,6189


45,5973


45,5757


45,5540


45,5324


45,5107
La goutte d'eau étant considérée comme une sphère, l'arc primaire est donc produit par les rayons lumineux attaquant la goutte sur la surface délimitée par la circonférence ayant pour rayon 86,24% du rayon de la goutte et la circonférence ayant pour rayon entre 85,93 % du rayon de la goutte soit un anneau d'une épaisseur de 0,31 % du rayon de la goutte

L'arc secondaire est produit de la même façon pour un rayon compris entre 94,88 et 95,09 % du rayon de la goutte soit une "largeur" de 0,21%

Les autres rayons arrivant sur la goutte sont réfractés, décomposés et réfléchis mais les différentes couleurs se recombinent pour donner une luminosité blanchâtre.


Etude numérique

Une étude numérique a été réalisée en faisant varier h de -1 à + 1 par pas de 0,002 et on détermine Sc et Sd

En reprenant les valeurs Sc et Sd on établit un deuxième tableau retraçant le nombre de fois qu'un angle donné arrondi à une décimale a été trouvé.

A partir de ce tableau , on a pu établir la courbe suivante retraçant approximativement l'énergie sortant de la goutte d'eau en fonction de l'angle de sortie.

Détail entre 38° et 43 °


Aspect quantitatif et polarisation

En appliquant les formules de Fresnel aux rayons émergeant de la goutte d'eau, on obtient l'énergie pour chaque cheminement.

Un tableau de valeurs est visible ici.

Sur les diagramme ci-dessous, le soleil vient de la droite.

Les graduations correspondent à l'amplitude du rayon (en pourcentage du rayon incident).

Le graphique a été réalisé avec un pas de variation de la hauteur du rayon lumineux de 0,02%. On peut ainsi se rendre compte de la concentration des rayons émergeants (un trait = un rayon émergent).



Ci-dessus le schéma représente la goutte d'eau avec le point d'émission de la lumière, son angle et son amplitude.

Le même schéma avec des explications :

On s'aperçoit :

- que les rayons en jaune sont émis dans toute la partie avant de la goutte mais, en 2 endroits, ils sont concentrés, avec la même direction et une amplitude plus grande. Ils provoqueront l'arc-en-ciel. Les autres rayons en jaune créeront la luminosité sous l'arc-en-ciel.

- que les rayons en bleu clair sont émis depuis toute la périphérie de la goutte avec une amplitude insignifiante mais en 2 endroits, ils sont concentrés, avec la même direction et une amplitude plus grande. Ils provoqueront l'arc secondaire.

- que seuls, quelques rayons en bleu foncé, sont émis dans la direction de vision de la bande d'Alexandre.



En représentant uniquement les rayons émis par la goutte (amplitude et direction) on obtient les diagrammes suivants :

Zoom sur la partie centrale pour les deux polarités

Les graduations des graphiques correspondent au coefficient à appliquer à l'énergie du rayon incident.

On s'aperçoit que les rayons à polarisation parallèle sont plus faibles que les rayons à polarisation perpendiculaire.

Toute la lumière émise par la goutte est polarisée.

Annotation du diagramme pour la polarisation perpendiculaire :

Le pourcentage de lumière émise est :

- dans la direction de l'arc-en-ciel par la sortie SC de l'ordre de 9% du rayon incident perpendiculaire et 0,4 % du rayon incident parallèle

- dans la direction de l'arc secondaire par la sortie Sd de l'ordre de 3,5% du rayon incident perpendiculaire et 0,4 % du rayon incident parallèle

- entre les deux, la 1ère réflexion renvoie de l'ordre de 2,5 % du rayon incident.
Observations

Observateur regardant la pluie :



L'observateur observera toutes les gouttes d'eau avec des angles différents.

Les gouttes dans le plan soleil-observateur lui enverront une lumière "blanche" d'autres du rouge, du jaune ... en fonction de l'angle d'observation.

Il existe une infinité de plans soleil-observateur ayant en commun l'axe soleil-observateur. Toutes les gouttes se situant dans les différents plans créeront l'arc-en ciel..


Importance de la hauteur du soleil



Les angles d'émission des couleurs de l'arc-en-ciel se situent à 42° par rapport à la direction du soleil.

L'angle de vision de l'arc pour observateur au sol sera : V= 42°-H

Pour un soleil à l'horizon, H=0, l'arc-en-ciel sera donc à 42 ° de hauteur.

Mais si le soleil est plus haut, l'arc-en-ciel sera plus bas et disparaîtra pour une hauteur de soleil de 42°
Horaire de vision de l'arc-en-ciel

L'arc-en-ciel n'est pas visible pour une hauteur de soleil supérieur à 42°.

Il existe donc une période durant laquelle l'arc-en-ciel n'est pas visible même s'il pleut et que le soleil brille.

Ci dessous les heures de visibilté en heure TU (rajouter 1h en hiver et 2 heures en été)



Photo Maryline D. à Cappelle en Pévèle (Nord) le 7 mai 2005 à 20h48

L'heure tardive a permis la création d'un arc-en-ciel s'élevant haut dans le ciel.
Largeur des arcs

La largeur de l'arc dépend de nos capacités à voir la largeur du spectre de la lumière, l'infrarouge d'un coté, l'ultraviolet de l'autre

Déjà Newton avec estimé la largeur de l'arc-en-ciel . Il avait calculé un angle de 137°58'pour le rouge et 139°43' pour le violet. En tenant compte d'une largeur de soleil de 0,5°, il avait estimé l'amplitude de l'arc à 2°15'

Dans les calculs ci-dessus avec un indice de 1,329 pour le rouge visible et 1,341 pour le violet visible, on obtient une largeur de 1,44° pour une lumière ponctuelle.

En prenant en compte une dimension du soleil de 0,5°, ceci nous donne une largeur de l'arc de 2,14°.

Pour l'arc secondaire on obtient une largeur de 3°07' à laquelle il faut également ajouter la taille du soleil soit une largeur totale de 3°37'.

L'écart entre les 2 arcs, correspondant à la bande d'Alexandre est de l'ordre de 7°10'
Divers
Les arcs surnuméraires

Les arcs surnuméraires apparaissent à l'intérieur de l'arc primaire. Ils sont produits par les rayons qui encadrent l'arc primaire (sur le graphique n°5, le rayon orange et le rayon violet). Ces rayons parcourent des chemins légèrement différents mais sortent parallèles. Il y a donc interférence entre ces ondes, créant des maximums et des minimums de lumière pour chaque couleur.
La bande sombre d'Alexandre

La bande sombre correspond à l'absence des rayons réfractés. Dans cette zone, il n'y a que des rayons réfléchis au premier contact. Mais cette explication ne satisfait pas certains scientifiques notamment pour justifier la chute brutale de l'intensité lumineuse.

En 1835, Richard Potter, utilise la théorie des courbes caustiques pour justifier la brusque chute de luminosité de la zone d'Alexandre

En 1838, Georges Airy, en se basant sur les théories de Huygens et de Fresnel tente de déterminer cette brusque variation.

Par la suite, on recherche le détail et l'explication mathématique de chaque élément

Maxwell, à partir de la théorie électromagnétique de la lumière donne une formulation mathématique précise : il calcule l'interaction d'une onde plane avec une sphère homogène.

Lord Raylerg à la fin du XIX siècle propose une solution par une série infinie de termes appelés ondes partielles.

Et après, on s'aventure dans des théories faisant intervenir moment cinétique, action des photons sur la goutte, plans complexes, pôles et cols, effet tunnel.

Importance de la taille de la goutte d'eau.

La taille de la goutte d'eau n'intervient pas dans la construction de l'arc-en-ciel par contre elle intervient dans la création des arcs surnuméraires.

Plus les gouttes sont grosses, moins le déphasage entre les rayons créant les arcs surnuméraires est important.

Pour obtenir des arcs surnuméraires , il faut des gouttes inférieures à 1 mm de diamètre.

La taille de la goutte intervient dans la netteté et la pureté des arcs. Dans une goutte petite, il y a un recouvrement des couleurs monochromatiques. Avec des grosses gouttes on obtient un arc-en-ciel brillant aux couleurs pures.
L'arc-en-ciel de nuit.

Tout comme pour les rayons du soleil, un arc-en-ciel peut être créé par la lumière réfléchie par la Lune.

La difficulté d'observation réside dans le peu de sensibilité de notre oeil aux différentes couleurs en lumière faible.

Par contre , avec un appareil photo, on peut réussir à capter un arc-en-ciel.

Le site de spaceweather.com nous montre une de ces photos : http://www.spaceweather.com/moonbows/24apr05/longc...
Références :

- Nombreux sites internet

- Livre intitulé " Les phénomènes naturels " ISBN 2 90 29 18 13 5 consultable à la bibliothèque municipale de Lille (prêt) .



Arc -en-ciel - Environ de Marcq en Baroeul le 25 août 2005 à 18h30